Question

13．已知圆的一内接四边形ABCD的四边AB=BC=2，CD=4，DA=6．求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 首先由已知条件圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，连接对角线然后由边长求得夹角的度数，再分别求得三角形的面积，再求解即可得到答案．

解答 解：如图，连接BD，则有四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△CDB=$\frac{1}{2}$AB•ADsinA+$\frac{1}{2}$BC•CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴S=$\frac{1}{2}$（AB•AD+BC•CD）sinA=$\frac{1}{2}$（2×6+2×4）sinA=10sinA．
∴由余弦定理，在△ABD中可得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+6²-2×2×6cosA=40-24cosA，
在△CDB中可得：BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=2²+4²-2×2×4cosC=20-16cosC，
∴40-24cosA=20-16cosC，
∵cosC=-cosA，
∴40cosA=20，cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°，
∴S=10sin60°=5$\sqrt{3}$．．

点评 本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．