Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，P是棱CD上一点，AB=2，AD=

2

，AA₁=3，CP=3，PD=1．
（1）求异面直线A₁P与BC₁所成的角；
（2）求证：PB⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出；
（2）利用线面垂直的判定定理即可得出．

解答： 解：（1）以D原点，DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A1(

2

，0，3)，P（0，1，0），B(

2

，2，0)，C₁（0，4，3）．

PA1

=(

2

，-1，3)，

BC1

=(-

2

，2，3)，cosθ=

PA1 • BC1

| PA1 | | BC1 |

=

-2-2+9

12 • 15

=

5

6

．
∴异面直线A₁P与BC₁所成的角的大小等于arccos

5

6

．
（2）过B作BM⊥CD交CD于M，在Rt△BMC中，BM=

2

，MC=2，则BC=

6

，
∵PC₁=

32+32

=3

2

，BC1=

6+32

=

15

，PB=

2+1

=

3

，
∵P

C

2 1

=PB2+B

C

2 1

，∴PB⊥BC₁．
∵B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥PB．
又B₁B∩BC=B，∴PB⊥平面BCC₁B₁．

点评：本题考查了向量的夹角公式、线面垂直的判定定理，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．