Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，右焦点为(

3

，0)．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，求斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出

c a = 3 2 c= 3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设过椭圆右焦点且斜率为k的直线方程：x=my+

3

，m=

1

k

，由

x=my+ 3 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2

3

my-1=0，由此利用韦达定理根据已知条件能求出斜率k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，右焦点为(

3

，0)，
∴

c a = 3 2 c= 3

，解得a=2，b²=4-3=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵

x2

4

+y2=1的右焦点F（

3

，0），
∴过椭圆右焦点且斜率为k的直线方程：x=my+

3

，m=

1

k

，

x=my+ 3 x2 4 +y2=1

，整理，得（m²+4）y²+2

3

my-1=0，
∴y₁+y₂=

-2 3 m

m2+1

，y₁y₂=

-1

m2+4

，
△=12m²+4（m²+4）＞0，

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=

m2+4

4

y1y2+

3 m

4

(y1+y2)+

3

4

=

4-2m2

2(m2+4)

=0，
∴m=±

2

，∴k=

1

m

=±

2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率k的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．