Question

已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆C方程；
（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使三角形S△OEF=2

2

（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线，与直线y=-4x联立求出圆心，由此能求出圆的方程．（Ⅱ）设N（a，b），由点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，求出N（1，0），再分斜率不存在和斜率存在两种情况进行分类讨论，能求出直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
与直线y=-4x联立

y=x-5 y=-4x

，解得x=1，y=-4，
∴圆心为（1，-4），…（2分）
∴半径r=

(3-1)2+(-2+4)2

=2

2

，
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，
∴

b+1 2 = a 2 b-1 a =-1

，解得a=1，b=0，∴N（1，0）．…（5分）
①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，
同时令x=1代入圆方程得
y=-4±2

2

，∴|EF|=4

2

，
∴S_OEF=

1

2

×1×4

2

=2

2

满足题意，
此时方程为x=1．…（8分）
②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
圆心C（1，-4）到直线l的距离d=

|k+4-k|

k2+1

=

4

k2+1

，…（9分）
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE=

8-d2

=

8- 16 k2+1

=

2 2 k2-1

k2+1

，
∴EF=

4 2 k2-1

k2+1

，原点到直线l的距离d1=

|k|

k2+1

，…（10分）
∴S_△OEF=

1

2

•

4 2 k2-1

k2+1

•

|k|

k2+1

=2

2

，…（12分）
整理，得3k²+1=0，不存在这样的实数k．
综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线方程存在性的讨论及其求法，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．