Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，且AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，且N为PC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面PMC⊥平面PAD；
（Ⅲ）求直线AN与平面PMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB，BC中点E，F，连EN，AE，AF，由N为PC中点，说明EN∥BC，证明EN∥AM．推出MN∥AE，然后证明MN∥面PAB．
（2）说明AF⊥BC，证明CM⊥AD．推出CM⊥PA．证明CM⊥面PAD，然后证明面PMC⊥面PAD．
（3）过A作AG⊥PM，垂足为G．推出AG⊥面PMC，连接AN，GN．说明∠ANG为AN与平面PMC所成角．Rt△ANG中求解AN与平面PMC所成角正弦值即可．

解答 解：（1）证明：取PB，BC中点E，F，连EN，AE，AF，由N为PC中点，
所以EN∥BC，且$EN=\frac{1}{2}BC=2$．由AM=2MD，AC=3，则AM=2，
又AD∥BC，则EN∥AM．
所以四边形ENMA为平行四边形，所以MN∥AE，且AE?面PAB，MN?面PAB，
则MN∥面PAB．
（2）证明：∵AB=AC，∴AF⊥BC，又AM∥FC，AM=FC=2所以四边形AFCM为平行四边形，故CM⊥AD．
又∵PA⊥面ABCD．CM?面ABCD，∴CM⊥PA．又AD∩PA=A，所以CM⊥面PAD，
∵CM?面ABCD，∴面PMC⊥面PAD．
（3）过A作AG⊥PM，垂足为G．由（2）知面PMC⊥面PAD，面PMC∩面PAD=PM，
AG?面PAD，∴AG⊥面PMC，连接AN，GN．
则GN为AN在平面PMC上的射影，∴∠ANG为AN与平面PMC所成角．
Rt△ANG中$AN=\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\frac{5}{2}$，
$AG=\frac{PA•AM}{{\sqrt{P{A^2}+A{M^2}}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
$sin∠ANG=\frac{AG}{AN}=\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$，
∴AN与平面PMC所成角正弦值为$\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$．

点评 本题考查直线与平面所成角，直线与平面平行以及垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．