Question

13．已知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一个动点，且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 椭圆的两个顶点（±a，0）．设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{4}$，化简利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：椭圆的两个顶点（±a，0）．
设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{4}$，
∴m²=${a}^{2}（1-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}）$，m²-a²+4n²=0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．