题目内容
已知函数f（x）=x+
．
（1）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．
| 4 |
| x |
（1）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：计算题,证明题
分析：（1）在给定区间内任取两数x1，x2，只需判断f（x1）-f（x2）与0的大小就行；
（2）由函数的单调性，即可求出最小值与最大值．
（2）由函数的单调性，即可求出最小值与最大值．
解答：
解：（1）任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=x1+
-(x2+
)=
，
∵x1＜x2，∴且x1-x2＜0，且x1，x2∈（2，+∞），∴x1x2-4＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
（2）任取x1，x2∈（1，2）且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=x1+
-(x2+
)=
，
∵x1＜x2，∴且x1-x2＜0，且x1，x2∈（1，2），∴x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x）在（1，2）上的单调递减，由（1）知f（x）在（2，4）上单调递增，
又f（1）=5，f（2）=4，f（4）=5，∴当x=1或x=4时函数f（x）有最大值5，当x=2时函数f（x）有最小值4．
f（x1）-f（x2）=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵x1＜x2，∴且x1-x2＜0，且x1，x2∈（2，+∞），∴x1x2-4＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
（2）任取x1，x2∈（1，2）且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵x1＜x2，∴且x1-x2＜0，且x1，x2∈（1，2），∴x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x）在（1，2）上的单调递减，由（1）知f（x）在（2，4）上单调递增，
又f（1）=5，f（2）=4，f（4）=5，∴当x=1或x=4时函数f（x）有最大值5，当x=2时函数f（x）有最小值4．
点评：本题考查了运用定义法证明函数的单调性，连续函数在闭区间上的最值，注意的是最值可能是函数的极值也可能是区间端点的值．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
“
＞
”是“|x|＜|y|”的（ ）
| 1-x2 |
| 1-y2 |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |