Question

利用极限存在准则证明

lim

n→∞

[

1

n2+1

+

1

n2+2

+…+

1

n2+n

]=1．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：计算题

分析：由于

1

n+1

＜

1

n2+n

＜

1

n

，求和得

n

n+1

＜

1

n2+1

+

1

n2+2

+…+

1

n2+n

＜1．对两端求极限，均为1，即可得证．

解答： 证明：∵

1

n+1

＜

1

n2+n

＜

1

n

，
∴

1

n+1

+

1

n+1

+…+

1

n+1

＜

1

n2+1

+

1

n2+2

+…+

1

n2+n

＜

1

n

+

1

n

+…+

1

n

即有

n

n+1

＜

1

n2+1

+

1

n2+2

+…+

1

n2+n

＜1．
由于

lim

n→∞

n

n+1

=1，

lim

n→∞

1=1，
则有

lim

n→∞

[

1

n2+1

+

1

n2+2

+…+

1

n2+n

]=1．

点评：本题考查数列极限的证明，考查放缩法，利用两端的极限，从而得到所求的极限，是一道中档题．