Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$在正方形网格中的位置图所示．
（1）求作向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$；
（2）求向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法和减法的运算法则进行求解即可．
（2）建立空间坐标系，求出向量的向量坐标，结合向量数量积的夹角关系进行求解即可．

解答 解：（1）根据向量加法的运算法则得以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$向量所在的线段为边作平行四边形，
则对角线OD对应的向量为$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
连接AB，则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$；
（2）建立以O为坐标原点，的直角坐标系如图：
则$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（2，2），$\overrightarrow{c}$=（-1，1），
则$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（4，2），$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（3，-1）；
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4×3-1×2=12-2=10，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10}{\sqrt{16+4}•\sqrt{9+1}}=\frac{10}{\sqrt{20}•\sqrt{10}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{4}$，
则向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角是$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查向量的四则运算以及向量数量积的应用，建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．