Question

16．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₄=7，S₈=64、
（I）求数列{a_n}的通项公式
（II）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前100项的和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_4}=7\\{S_8}=64\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=7\\ 8{a_1}+28d=64\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）设数列{b_n}的前n项的和为T_n．
${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_{100}}=\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{199}-\frac{1}{201}）}]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{201}）=\frac{100}{201}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．