Question

15．已知a＞0，b＞0．
（1）求证：$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$；
（2）若a+b=1，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$≥8．

Answer 1

分析 （1）不等式两边同时加$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，在左边分组使用基本不等式即可得出结论；
（2）利用基本不等式得出ab的范围，将$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$通分得出结论．

解答 证明：（1）∵$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}$≥2$\sqrt{b}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≥2$\sqrt{a}$+2$\sqrt{b}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）∵$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{ab}$≥4，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥8．

点评 本题考查了基本不等式的变型与应用，不等式的证明，属于中档题．