题目内容
15．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-x（a≠0）．（1）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与y=f（x）的图象和y=g（x）的图象交于S、T点，以S为切点作y=f（x）的切线l1，以T为切点作y=g（x）的切线l2，是否存在实数a使得l1∥l2，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）设出公共点，利用切线斜率相等列出方程，求解得出a的值；
（2）根据（1）知，当a=1时，两条曲线切于点P（1，0），利用数形结合的方法，通过平移图象，得出a的范围；
（3）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），且x1＞x2则MN中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），利用平行，斜率相等得出
，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x1+x2）-1，有lnx1=ax12-x1，lnx2=ax22-x2，联立，利用构造函数h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，≡
判断是否存在零点即可．
解答 解：（1）设函数y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点P（x0，y0），则有lnx0=ax02-x0，①
又在点P有共同的切线，
∴f'（x0）=g'（x0），
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax0-1，
∴a=$\frac{1+{x}_{0}}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
代入①，得lnx0=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x0．
设h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$x，
∴h'（x）=$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{2}$＞0，（x＞0），
所以函数h（x）在（0，+∞）上为增函数，故最多有1个零点，观察得x0=1是零点．
故有a=1，此时P（1，0），．
（2）根据（1）知，当a=1时，两条曲线切于点P（1，0），
，此时变化的y=g（x）的对称轴是x=$\frac{1}{2}$，y=f（x）而是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动，即x=$\frac{1}{2a}$$＞\frac{1}{2}$，得a＜1．
两条曲线有两个不同的交点，当a＜0时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意．
综上可得，有0＜a＜1．
（3）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），且x1＞x2则MN中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
以S为切点的切线l1的斜率为$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
以T为切点的切线l2的斜率为a（x1+x2）-1，
如果存在a使得$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x1+x2）-1，②
而且有lnx1=ax12-x1，lnx2=ax22-x2，
如果将②的两边同时乘以x1-x2，得$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x12+x22）-（x1-x2）
即$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（t＞0），
则有lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$=0，
令h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
∴h'（t）＞0，
∴函数h（t）在[1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）=0，
所以不存在实数a使得l1∥l2．
点评 考查了导数求斜率，数学结合的思想和利用条件，通过导数判断函数的零点是否存在，解决实际问题，思路不容易想到，属于难题．
小学课时特训系列答案| A． | $\frac{1}{2}f′（{x}_{0}）$ | B． | f′（x0） | C． | 2f′（x0） | D． | 4f′（x0） |