Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=

ax2

2

，直线l：y=（k-3）x-k+2
（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值
（2）若至少存在一个x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．
（2）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），则kx₀＞2lnx₀⇒a＞

2lnx0

x0

，只需要k大于h（x）=

2lnx

x

的最小值即可．
（3）分离参数，得到k＜

xlnx+3x-2

x-1

，构造函数，求函数的最小值即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（e）=1+lne=k-3
∴k=5，
（2）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），
则

1

2

ax₀²＞x₀lnx₀，
∴a＞

2lnx0

x0

设h（x）=

2lnx

x

则h′（x）=

2(1-lnx)

x2

，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）
∴h（x）在[1，e]上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=0，因此a＞0．
（3）由题意xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立
即k＜

xlnx+3x-2

x-1

，
设F（x）=

xlnx+3x-2

x-1

，
∴F′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令m（x）=x-lnx-2，则m′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0在x＞1时恒成立
所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x₀（x₀∈（3，4））使m（x）=0
当1＜x＜x₀时m（x）＜0即F′（x）＜0，
当x＞＜x₀时m（x）＞0即F′（x）＞0，
所以F（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
F（x）_min=F（x₀）=

x0lnx0+3x0-2

x0-1

=

x0(x0-2)+3x0-2

x0-1

=x₀+2∈（5，6）
故k＜x₀+2又k∈Z，所以k的最大值为5

点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．