Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=ax，x∈[2，3]时有唯一一个零点，且不是重根，求a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，求得c=1．再由f（x+1）-f（x）=2x求得a、b的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ax，利用函数零点的判定定理可得h（2）•h（3）≤0，由此求得a的范围．
（Ⅲ）由题意得x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立，设g（x）=x²-3x+1-m，由g（x） 在[-1，1]上递减，故只需g（1）＞0，由此解得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，则由f（0）=1，求得 c=1．
再由f（x+1）-f（x）=2x可得 2ax+a+b=2x，
所以

2a=2 a+b=0

，∴

a=1 b=-1

，∴f（x）=x²-x+1．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ax=x²-（a+1）x+1=0，则h（2）=3-2a，h（3）=7-3a，
由h（x）=0在[2，3]上有唯一零点且不是重根，只需h（2）•h（3）≤0，求得

3

2

≤a≤

7

3

．
经检验a=

3

2

时，方程h（x）=0在[2，3]上唯一解x=2；
a=

7

3

时，方程h（x）=0在[2，3]上唯一解x=3，故要求的a的范围为[

3

2

，

7

3

]．
（Ⅲ）由题意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=

3

2

，所以g（x） 在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即1²-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数零点的判定定理、二次函数的性质应用，属于基础题．