Question

5．已知数列{a_n}的前 n项和为 S_n，且满足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，设${b_n}=\frac{{2{a_n}-1}}{{{3^{a_n}}}}$，则数列{b_n}的前 n项和为$1-\frac{n+1}{3^n}$．

Answer 1

分析 a_n•a_n+1=2S_n，a₁=1．n=1时，a₂=2．n≥2时，可得a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n≠0，a_n+1-a_n-1=2，因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2，其中a₁=1，a₂=2．可得：a_n=n.${b_n}=\frac{{2{a_n}-1}}{{{3^{a_n}}}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n•a_n+1=2S_n，a₁=1
∴n=1时，a₂=2．
n≥2时，a_n-1a_n=2S_n-1，可得a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2，其中a₁=1，a₂=2．
∴n为奇数时，a_n=1+$（\frac{n+1}{2}-1）×2$=n．
n为偶数时，a_n=2+$（\frac{n}{2}-1）$×2=n．
综上可得：a_n=n．
${b_n}=\frac{{2{a_n}-1}}{{{3^{a_n}}}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
则数列{b_n}的前 n项和T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+$$2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
化为：T_n=$1-\frac{n+1}{3^n}$．
故答案为：$1-\frac{n+1}{3^n}$．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．