Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sinCcosB=2sinA+sinB，c=3ab，则ab的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2+\sqrt{3}}{9}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 由三角内角和定理，将原式转化成2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，利用两角和的正弦公式，求得cosC=-$\frac{1}{2}$，再根据余弦定理及基本不等式，求得ab的最小值．

解答 解：在△ABC中，由A+B+C=π知，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
2sinCcosB=2sinA+sinB，
∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，
∴2sinCcosB-2sinBcosC-2cosBsinC=sinB，
∴-2sinBcosC=sinB，
由sinB＞0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵c=3ab，
∴由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，
整理可得9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，当且仅当a=b取等号，
∴ab≥$\frac{1}{3}$，则ab的最小值是$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．