Question

已知命题p：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1相交”，命题q：“方程x²-x+m-4=0的两根异号”，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1相交”，则

|1-m|

2

＜1，解出即可．命题q：“方程x²-x+m-4=0的两根异号”，可得m-4＜0，解得m范围．由于p∨q为真，p∧q为假，可得p与q必然一真一假．

解答： 解：命题p：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1相交”，则

|1-m|

2

＜1，解出1-

2

＜m＜1+

2

．
命题q：“方程x²-x+m-4=0的两根异号”，可得m-4＜0，解得m＜4．
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q必然一真一假．
当p真q假时，

1- 2 ＜m＜1+ 2 m≥4

，解得m∈∅；
当q真p假时，

m≤1- 2 或m≥1+ 2 m≥4

，解得m≥4．
综上可得：实数m的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次有实数根与根与系数的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．