Question

已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且3sin²A+3sin²B=4sinAsinB+3sin²C．
（1）求cosC的值；
（2）若a=3，c=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式变形后，利用正弦定理化简得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出的关系式代入求出cosC的值即可；
（2）把a与c的值代入（1）得出的关系式求出b的值，由cosC的值求出sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（1）已知等式3sin²A+3sin²B=4sinAsinB+3sin²C，利用正弦定理化简得：3a²+3b²-3c²=4ab，即a²+b²-c²=

4

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

3

；
（2）把a=3，c=

6

，代入3a²+3b²-3c²=4ab得：b=1或b=3，
∵cosC=

2

3

，C为三角形内角，
∴sinC=

1-cos2C

=

5

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×3×b×

5

3

=

5

2

b，
则△ABC的面积为

5

2

或

3 5

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．