Question

在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
（1）求tanA的大小；
（2）若a²=bc，求∠C的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理，把2acosC+c=2b化为2sinAcosC+sinC=2sinB，再由B=π-（A+C），化简求出A的值即可；
（2）由余弦定理，写出cosA的表达式，结合题意，求出b=c，得出△ABC是等腰三角形，且为等边三角形即可．

解答： 解：（1）∵2acosC+c=2b，
由正弦定理得，2sinAcosC+sinC=2sinB；
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0；
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，tanA=

3

；
（2）由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
即b²+c²-a²=bc；
又∵a²=bc，
∴b²+c²-2bc=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
∵A=

π

3

，
∴△ABC是等边三角形，
∴C=

π

3

．

点评：本题考查了解三角形的应用问题，解题时应灵活应用正弦定理和余弦定理的公式求角和边长，是中档题目．