Question

已知圆心C在x轴上的圆过点A（2，2）和B（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程；
（3）已知线段PQ的端点Q的坐标为（3，5），端点P在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，得x=2，即可求得圆心为C（2，0）．然后由两点间的距离公式求得圆的半径，则圆C的方程可求．或设出圆心为C（a，0），由|AC|=|BC|求得a，则圆心坐标可求，再由半径r=|BC|=|4-2|=2．则圆的方程可求；
（2）由（1）知圆C的圆心坐标为C（2，0），半径r=2，然后分与圆C相切的直线的斜率不存在和斜率存在求得与圆C相切的直线方程；
（3）设点N的坐标为（x，y），P点的坐标为（x₀，y₀）．由中点坐标公式把P的坐标用N的坐标表示，然后代入圆C的方程求得点N的轨迹方程．

解答： 解：（1）线段AB的中点坐标为M（3，1），斜率为kAB=

0-2

4-2

=-1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=x-3，即为y=x-2．
令y=0，得x=2，即圆心为C（2，0）．
由两点间的距离公式，得r=

(2-2)2+22

=2．
∴适合题意的圆C的方程为（x-2）²+y²=4．
或：设圆心为C（a，0），由|AC|=|BC|得  

(a-2)2+22

=

(a-4)2

，
解得a=2，∴圆心为C（2，0）．
又半径r=|BC|=|4-2|=2．
∴适合题意的圆C的方程为（x-2）²+y²=4；
（2）由（1）知圆C的圆心坐标为C（2，0），半径r=2，
（i）当过点M（4，6）且与圆C相切的直线的斜率不存在时，其切线方程为x=4．
（ii）当过点M（4，6）且与圆C相切的直线的斜率存在时，
设为k，则切线方程为kx-y-4k+6=0．
由圆心到切线的距离等于半径，得

|2k-4k+6|

1+k2

=2，解得k=

4

3

，
∴切线方程为

4

3

x-y-4×

4

3

+6=0，即4x-3y+2=0．
因此，过点M（4，6）且与圆C相切的直线方程为x=4或4x-3y+2=0；
（3）设点N的坐标为（x，y），P点的坐标为（x₀，y₀）．
由于Q点的坐标为（3，5）且N为PQ的中点，∴x=

3+x0

2

，y=

5+y0

2

，
于是有x₀=2x-3，y₀=2y-5  ①，
∵P在圆C上运动，∴有(x0-2)2+

y

2 0

=4，
将①代入上式得（2x-3）²+（2y-5）²=4，即(x-

3

2

)2+(y-

5

2

)2=1．
∴点N的轨迹是以（

3

2

，

5

2

）为圆心，半径为1的圆．

点评：本题考查了圆的方程的求法，考查了圆的切线方程的求法，训练了利用代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．