Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），从而可判断{a_n}是以2为首项、2为公比的等比数列，进而可求得a_n+1．
（2）b_n=a_na_n+1=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1）=2×4ⁿ-3×2ⁿ+1，利用分组后，利用等比数列求和公式求和即可．

解答： 解：（1）解：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，所以{a_n+1}是以2为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2×2^n-1，a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=a_na_n+1=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1）=2×4ⁿ-3×2ⁿ+1，
所以，数列{b_n}的前n项和
s_n=2（4¹+4²+…+4ⁿ）-3（2¹+2²+…+2ⁿ）+n=2•

4(1-4n)

1-4

-3•

2(1-2n)

1-2

+n=

8

3

•4ⁿ-6•2ⁿ+n-

10

3

．

点评：本题主要考查等比数列的定义及等比数列求和公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题．