Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在与x=1时都取得极值
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据极值的意义，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可；
（2）由（1）得，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范围即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b…（1分）
由f′(-

2

3

)=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，
得a=-

1

2

，b=-2…（4分），
函数f（x）的单调区间如下表：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是(-∞，-

2

3

)，（1，+∞），递减区间是(-

2

3

，1)；…（7分）
（2）f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，x∈[-1，2]，当x=-

2

3

时，f(-

2

3

)=

22

27

+c为极大值，
f（1）=-

3

2

+c，f（2）=2+c，f(-1)=

1

2

+c则2+c为最大值，…（10分）
要使f（x）＜c²，x∈[-1，2]恒成立，则只需要2+c＜c²，…（12分）
解得c＜-1，或c＞2．

点评：本题考察了利用导数研究函数的极值，最值问题，是导数的应用问题，是一道中档题．