Question

7．已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由三视图还原原几何体，补形找出异面直线所成角，求解三角形得答案．

解答 解：由三视图还原原几何体如图：

几何体是三棱锥A-BCD，满足面ACD⊥面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD．
最短棱为CD，最长棱为AB．
在平面BCD内，过B作BE∥CD，且BE=CD，
∴四边形BEDC为正方形，可得AE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AEB中，求得AB=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，
∴cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$．
即最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，是中档题．