Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻折过程中：
①|BM|是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④存在某个位置，使MB∥平面A₁DE．
其中正确的命题是①②④．

Answer 1

分析 取A₁D的中点N，连结MN，EN，则可证明四边形MNEB是平行四边形，从而BM$\stackrel{∥}{=}$EN，于是BM∥平面A₁DE，从而可判断①②④一定成立，假设③成立，则可推出DE⊥A₁E，得出矛盾．

解答 解：取A₁D的中点N，连结MN，EN，
则MN为△A₁CD的中位线，∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵E是矩形ABCD的边AB的中点，∴BE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$BE，
∴四边形MNEB是平行四边形，
∴BM$\stackrel{∥}{=}$EN，
∴BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故①正确，②正确；
又NE?平面A₁DE，BM?平面A₁DE，
∴BM∥平面A₁DE，故④正确；
由勾股定理可得DE=CE=2$\sqrt{2}$，∴DE²+CE²=CD²，
∴DE⊥CE，若DE⊥A₁C，又A₁C∩CE=C，
∴DE⊥平面A₁CE，又A₁E?平面A₁CE，
∴DE⊥A₁E，而这与∠AED=45°矛盾．故③错误．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．