Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且三角形的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F₁，F₂是椭圆C的左、右焦点，过F₁，F₂任作两条平行直线分别交椭圆于A，B和C，D不同四点，求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ bc=1\\ b=c\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ b=1\end{array}\right.$，即可得椭圆方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点F₂的直线CD为x=ty+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$整理得（t²+2）y²+2ty-1=0，可得$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{\sqrt{8{t^2}+8}}}{{{t^2}+2}}=\frac{{2\sqrt{2}\sqrt{{t^2}+1}}}{{{t^2}+2}}$，
S_{四边形ABCD}=$4{S_{△OCD}}=\frac{{4\sqrt{2}•\sqrt{{t^2}+1}}}{{{t^2}+2}}$，令$m=\sqrt{1+{t^2}}≥1$，则$S=f（m）=\frac{{4\sqrt{2}m}}{{{m^2}+1}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{m+\frac{1}{m}}}$，可得四边形ABCD的面积最大值．

解答 解：（Ⅰ）依题意$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ bc=1\\ b=c\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ b=1\end{array}\right.$
即椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）显然直线AB，CD的斜率不为0，设过椭圆右焦点F₂的直线CD为x=ty+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
则$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$整理得（t²+2）y²+2ty-1=0，显然△＞0
∴${y_1}+{y_2}=\frac{-2t}{{{t^2}+2}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{t^2}+2}}$，
∴$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{\sqrt{8{t^2}+8}}}{{{t^2}+2}}=\frac{{2\sqrt{2}\sqrt{{t^2}+1}}}{{{t^2}+2}}$，
s_△OCD=${s}_{△O{F}_{2}C}+{s}_{△O{F}_{2}D}$=$\frac{1}{2}$|OF|×|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，
∵AB∥CD，且分别过椭圆左右焦点，所以四边形ABCD为平行四边形，且O为四边形ABCD的中心S_{四边形ABCD}=$4{S_{△OCD}}=\frac{{4\sqrt{2}•\sqrt{{t^2}+1}}}{{{t^2}+2}}$，
令$m=\sqrt{1+{t^2}}≥1$，则$S=f（m）=\frac{{4\sqrt{2}m}}{{{m^2}+1}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{{m+\frac{1}{m}}}$，
注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，所以${S_{max}}=f（1）=2\sqrt{2}$，
当且仅当m=1，即t=0时等号成立，故这个四边形ABCD的面积最大值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，方程思想、韦达定理，属于中档题．