Question

2．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=$\sqrt{3}$，点为C上的一个动点，A₁A₂分别为的左、右顶点，则直线A₁P与直线A₂P的斜率之积为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，设P（m，n），代入双曲线的方程，设A₁（-a，0），A₂（a，0），运用直线的斜率公式，化简整理即可得到所求积．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=$\sqrt{3}$，
可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
设P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即有n²=b²•$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$，
A₁（-a，0），A₂（a，0），
直线A₁P与直线A₂P的斜率之积为$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
故选：B．

点评 本题考查直线的斜率之积的求法，注意运用双曲线的离心率公式和基本量a，b，c的关系，点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．