题目内容
6．已知函数$f（x）=\frac{a}{x}-1+lnx$，若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （2，+∞） | B． | （-∞，3） | C． | （-∞，1] | D． | [3，+∞） |
分析 利用参数分离法进行转化，构造函数求出函数的单调性和极值即可得到结论．
解答 解：若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，
则由f（x）=$\frac{a}{x}$-1+lnx≤0，即$\frac{a}{x}$≤1-lnx，
即a≤x-xlnx，设h（x）=x-xlnx，
则h′（x）=1-（lnx+x•$\frac{1}{x}$）=1-lnx-1=-lnx，
由h′（x）＞0得-lnx＞0，即lnx＜0，得0＜x＜1，此时函数递增，
由h′（x）＜0得-lnx＜0，即lnx＞0，得x＞1，此时函数递减，
即当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=1-ln1=1，
即h（x）≤1
若a≤x-xlnx，有解，则a≤1，
故选：C．
点评 本题主要考查根的存在性性问题，利用参数分离法，构造函数求出函数的极值，注意本题是存在性问题，不是恒成立问题，注意两者的区别．
练习册系列答案
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已知定义在区间[-π，$\frac{2}{3}$π]上的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，当x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$时，f（x）的图象如图所示．
1．若f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）2+blnx在（1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（ ）
| A． | [-1，+∞） | B． | （-1，+∞） | C． | （-∞，-1] | D． | （-∞，-1） |
11．直线l：y=k（x-2）与双曲线C：x2-y2=2的左右两支各有一个交点，则k的取值范围为（ ）
| A． | k≤-1或k≥1 | B． | -1≤k≤1 | C． | -$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$ | D． | -1＜k＜1 |
4．设a，b是异面直线，a?平面α，则过直线b与平面α平行的平面（ ）
| A． | 不存在 | B． | 一定有1个 | C． | 至多有1个 | D． | 一定有2个以上 |