Question

14．已知数列{a_n}是等比数列，其中第七项是1，第四项是8
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用等比数列前n项和公式进行证明．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等比数列，其中第七项是1，第四项是8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{7}={a}_{1}{q}^{6}=1}\\{{{a}_{4}={a}_{1}q}^{3}=8}\end{array}\right.$，
解得a₁=64，q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₁q^n-1=64×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴${a_n}={2^{7-n}}$．
（2）∵a₁=64，q=$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{64（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=128-$\frac{128}{{2}^{n}}$，
∴${S_n}=128-\frac{128}{2^n}＜0$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的前n项和小于128的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．