Question

19．设k∈Z，下列四个命题中正确的有③④．（填所有正确命题的序号）
①若sinα+sinβ=2，则α=β=2kπ+$\frac{π}{2}$；
②若tanα+$\frac{1}{tanα}$=2，则α=2kπ+$\frac{π}{4}$；
③若sinα+cosα=1，则sin⁵α+cos⁵α=1；
④若sin⁵α+cos⁵α=1，则sinα+cosα=1．

Answer 1

分析 利用三角函数的最值，判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用三角函数的化简求解即可判断③④的正误．

解答 解：对于①sinα+sinβ=2，可得sinα=1，sinβ=1，则α=2kπ+$\frac{π}{2}$，β=2kπ+$\frac{π}{2}$；所以①不正确；
②若tanα+$\frac{1}{tanα}$=2，则α=2kπ+$\frac{π}{4}$；如果α=$\frac{5π}{4}$，等式也成立，所以②不正确．
③若sinα+cosα=1，可得1+2sinαcosα=1，解得sinα=1，cosα=0或sinα=0，cosα=1，
则sin⁵α+cos⁵α=1；所以③正确；
④若sin⁵α+cos⁵α=1，可得sin⁵α+cos⁵α-sin²α-cos²α=0，
即sin²α（1-sin³α）+cos²α（1-cos³α）=0，
sin²α（1-sinα）（1+sinα+sin²α）+cos²α（1-cosα）（1+cosα+cos²α）=0，
（1-cosα）（1+cosα）（1-sinα）（1+sinα+sin²α）+（1+sinα）（1-sinα）（1-cosα）（1+cosα+cos²α）=0
可得（1-cosα）（1-sinα）[（1+cosα）（1+sinα+sin²α）+（1+sinα）（1+cosα+cos²α）]=0
∵1+cosα≥0，1+sinα+sin²α＞0，1+sinα≥0，1+cosα+cos²α＞0，
∴（1-cosα）（1-sinα）=0，可得sinα=1或cosα=1，
若sinα=1则cosα=0，若cosα=1则sinα=0，
∴sinα+cosα=1．所以④正确．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的化简求值，考查分析问题解决问题的能力．其中④的判断是本题的难点．