Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）求证f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）为偶函数．令x₁=x₂=-1，求得f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x，即可得证；
（Ⅱ）运用单调性的定义证明，任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，+∞），即有f(

x2

x1

)＞0，再结合条件，即可得证；
（Ⅲ）由f（4）=1，求得f（64）=3，再由奇偶性和单调性，即可得到不等式|（3x+1）（2x-6）|≤64，且3x+1≠0且2x-6≠0，解出即可得到x的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）为偶函数．
理由如下：令x₁=x₂=-1，
则f（1）=f（-1）+f（-1）⇒2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
再令x₁=-1，x₂=x，
则f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）证明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，+∞）
则f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)∵0＜x₁＜x₂∴f(

x2

x1

)＞0∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）由于f（4）=1，可得f（16）=2f（4）=2，f（64）=f（4）+f（16）=3，
由于f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）在（-∞，0）上是减函数
则f（3x+1）+f（2x-6）≤3即为f（（3x+1）（2x-6））≤f（64），
即有f（|（3x+1）（2x-6）|）≤f（64），
则有|（3x+1）（2x-6）|≤64，且3x+1≠0且2x-6≠0，

3x2-8x+29≥0 3x2-8x-35≤0 x≠3且x≠- 1 3

即有

x∈R - 7 3 ≤X≤5 X≠3且x≠- 1 3

，
则有x的取值范围是：[-

7

3

，-

1

3

）∪（-

1

3

，3）∪（3，5）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，以及运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．