Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于原点），以AB为直径的圆过坐标原点O，则关于直线l的判断正确的是（　　）

• A． 过定点（4p，0）
• B． 过定点（2p，0）
• C． 过定点（p，0）
• D． 过抛物线焦点

Answer 1

分析 设直线l：x=my+4b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合以AB为直径的圆过坐标原点O，求出b，即可得出结论．

解答 解：设直线l：x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入抛物线方程y²=2px，可得y²-2pmy-2pb=0，
∴y₁y₂=-2pb，
∴x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=b²，
∵以AB为直径的圆过坐标原点O，
∴有x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²-2pb=0，
∴b=2p
∴直线l过定点（2p，0）．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题．