Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=ln（n+1）-a．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={e^{a_n}}$（e为自然对数的底数），定义：$\sum_{k=1}^n{{b_k}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}}$，求$\sum_{k=1}^n{b_k}$．

Answer 1

分析 （1）当n=1求得a₁，当n≥2，由a_n=S_n-S_n-1，代入验证当n=1是否成立，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）求得数列{b_n}通项公式，根据新定义即可求得

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=ln2-a；当n≥2且n∈N^*时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=ln（{n+1}）-a-（{lnn-a}）=ln（{n+1}）-a-lnn+a=ln（{n+1}）-lnn=ln\frac{n+1}{n}$，
当a=0时，a₁=ln2，适合此等式，当a≠0时，a₁=ln2-a≠ln2，不适合此等式，
∴当a=0时，${a_n}=ln\frac{n+1}{n}（{n∈{N^*}}）$；
当a≠0时，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{ln2-a，n=1}\\{ln\frac{n+1}{n}，n≥2}\end{array}}\right.$．
（2）当a=0时，${b_n}={e^{a_n}}={e^{ln\frac{n+1}{n}}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\sum_{k=1}^n{{b_k}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}=\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}}=n+1$．
当a≠0时，${b_n}={e^{a_n}}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{e^a}，n=1}\\{ln\frac{n+1}{n}，n≥2}\end{array}}\right.$，
∴$\sum_{k=1}^n{{b_k}={b_1}•{b_2}•{b_3}•…•{b_n}={e^{\frac{2}{a}}}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}={e^{\frac{n+1}{a}}}}$．
综上，$\sum_{k=1}^n{{b_k}=\frac{n+1}{e^a}}$．

点评 本题考查求数列的通项公式的方法，考查数列应用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．