Question

19．已知等比数列{a_n}，首项a₁=2，公比q=3，a_p+a_p+1+…+a_k=2178（k＞p，p，k∈N₊），则p+k=10．

Answer 1

分析 通过a_n=2•3^n-1可知a_p+a_p+1+…+a_k=3^p-1（3^k-p+1-1），利用2178=3²•（3⁵-1）比较即得结论．

解答 解：依题意，a_n=2•3^n-1，
则2178=a_p+a_p+1+…+a_k
=$\frac{2•{3}^{p-1}（1-{3}^{k-p+1}）}{1-3}$
=3^p-1（3^k-p+1-1），
又∵2178=9（243-1）=3²•（3⁵-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-1=2}\\{k-p+1=5}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{p=3}\\{k=7}\end{array}\right.$，
∴p+k=10，
故答案为：10．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．