Question

已知，如图所示的△DAB是正三角形，与等腰三角形ABC的公共边AB=2

3

，且△ABC中，∠ACB=120°
（Ⅰ）当平面ABD⊥平面ABC时，求CD的长；
（Ⅱ）如果△ABC绕边AB转动，请你首先描述一下你对直线AB与CD的位置关系的直观感知，然后运用所学知识证明你的直观感知．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB中点为E，连DE，CE，由AB⊥DE，AB⊥CE，可证平面ABD⊥平面ABC，从而有DE⊥EC，由勾股定理可求CD的长；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥DE，AB⊥CE，可证AB⊥平面EDC，即可证明始终有AB⊥CD．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中点为E，连DE，CE，
∵△DAB是正三角形，
∴AB⊥DE，
又∵△BCA是∠ACB=120°的等腰三角形，
∴AB⊥CE，
∵平面ABD⊥平面ABC，
∴ED⊥平面ABC，即DE⊥EC，
∵DE=3，CE=1，
∴CD=

10

，
（Ⅱ）当△ABD绕AB转动时，AB始终与CD垂直，
由（Ⅰ）知AB⊥DE，AB⊥CE，
∴AB⊥平面EDC，CD?平面EDC，
∴AB⊥CD，
∴当△ABD绕AB转动时，AB始终与CD垂直．

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，属于中档题．