Question

已知直线l：y=ax+1-a（a∈R），曲线C：y=x²．问是否存在实数a，使得曲线C与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：联立直线l的方程和曲线C的方程可求出直线l和曲线C的交点为（1，1），（a-1，（a-1）²），所以根据已知条件及两点间距离公式可得到

(a-2)2+(a2-2a)2

=|a|．两边平方可得（a-2）²+（a²-2a）²-a²=0  ①，设f（a）=（a-2）²+（a²-2a）²-a²，容易求得f（0）＞0，f（2）＜0，所以f（a）在（0，2）上有零点，即方程①有实数根，所以说存在实数a，使得曲线C与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|．

解答： 解：由

y=ax+1-a y=x2

得，x²-ax+a-1=[x-（a-1）]（x-1）=0；
∴x=1，或a-1；
∴直线l和曲线C的交点为（1，1），（a-1，（a-1）²）；
∴

(a-2)2+(a2-2a)2

=|a|；
（a-2）²+（a²-2a）²-a²=0；
设f（a）=（a-2）²+（a²-2a）²-a²；
f（0）=4＞0，f（2）=-4＜0，且f（a）是连续函数；
∴f（a）在（0，2）上有零点；
即方程（a-2）²+（a²-2a）²-a²=0在（0，2）上有根，并且在a∈（0，2）上曲线C和直线l有两个不同交点；
即存在实数a，使得曲线C与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|．

点评：考查联立直线方程和曲线方程求直线和曲线交点坐标的方法，解一元二次方程，两点间距离公式，以及函数零点的概念及判断零点是否存在的方法．