Question

3．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=4，∠BAC=90°，E为BC的中点．
（1）求证：平面AB₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）若侧面ABB₁A₁为正方形，求证；BC₁⊥平面AB₁E．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质可证AE⊥BC，又由直棱柱的性质可证AE⊥C₁C，可证AE⊥平面BCC₁B₁，进而证明平面AB₁E⊥平面BCC₁B₁．
（2）以A₁为原点，建立空间直角坐标系，分别求出点B₁，C₁，A，E，B的坐标，进而可求$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}A}$，$\overrightarrow{{B}_{1}E}$的坐标，由$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=0，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=0，可证BC₁⊥B₁A，BC₁⊥B₁E，进而利用线面垂直的判定定理即可证明BC₁⊥平面AB₁E．

解答 证明：（1）∵AB=AC=4，E为BC的中点．
∴AE⊥BC，
又∵在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AE⊥C₁C，BC∩C₁C=C，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∵AE?平面AB₁E，
∴平面AB₁E⊥平面BCC₁B₁．
（2）如图，以A₁为原点，建立空间直角坐标系，
可得：B₁（4，0，0），C₁（0，4，0），A（0，0，4，），E（2，2，4），B（4，0，4），
可得：$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-4，4，-4），$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=（-4，0，4），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，2，4），
由于：$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}A}$=16+0-16=0，
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=8+8-16=0，
∴BC₁⊥B₁A，BC₁⊥B₁E，
又∵B₁A∩B₁E=B₁，
∴BC₁⊥平面AB₁E．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，直棱柱的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．