Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0）．
（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB（直线与抛物线交于点A，B），使得三角形MAB的面积S_△MAB=4

2

？若存在，请求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得-

p

2

=-1，由此能求出抛物线方程和抛物线焦点坐标．
（Ⅱ）法一：由题意，设AB：x=ty+1，并与y²=4x联立，得到方程：y²-4ty-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由S_△MAB=S_△MAF+S_△MBS=

1

2

|MF|•（|y₁|+|y₂|），能求出直线AB的方程．
（Ⅱ）法二：设AB：y=k（x-1）（k≠0），并与y²=4x联立，得到方程：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=

4(k2+1)

k2

，点M到直线AB的距离为的d，由S△MAB=

1

2

|AB|•d，能求出直线AB的方程．

解答： （Ⅰ）解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M（-1，0），
∴-

p

2

=-1，
解得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
抛物线焦点坐标为F（1，0）．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由题意，设AB：x=ty+1，并与y²=4x联立，
得到方程：y²-4ty-4=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4．…（7分）
S_△MAB=S_△MAF+S_△MBS
=

1

2

|MF|•（|y₁|+|y₂|），
∵y₁•y₂＜0，∴|y₁|+|y₂|=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

t2+1

，…（9分）
又|MF|=2，∴S△MAB=

1

2

×2×4

t2+1

=4

2

，…（10分）
解得t=±1，…（11分）
故直线AB的方程为：x=±y+1．
即x+y-1=0或x-y-1=0．…（12分）
（Ⅱ）解法二：当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，
S_△MAB=

1

2

|MF|•|AB|=

1

2

×2×4=4，不符合题意．…（5分）
∴设AB：y=k（x-1）（k≠0），并与y²=4x联立，
得到方程：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．…7分
|AB|=x₁+x₂+p=

4(k2+1)

k2

，
点M到直线AB的距离为d=

|k×(-1)-0-k|

k2+1

=

2|k|

k2+1

，…（9分）
∴S△MAB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×

4(k2+1)

k2

×

2|k|

k2+1

=

4 k2+1

|k|

=4

2

，…（10分）
解得k=±1，…（11分）
故直线AB的方程为：y=±（x-1）．即x+y-1=0或x-y-1=0．…（12分）

点评：本题考查抛物线的方程和焦点坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．