Question

17．已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；
（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E点分别作斜率为k₁、k₂的两条直线l₁、l₂，直线l₁交轨迹Q于A、B两点，直线l₂交轨迹Q于C、D两点，线段AB、CD的中点分别是M、N．若k₁+k₂=1，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设动圆圆心为O₁（x，y），动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O₁P|=|O₁S|，由此得到$\sqrt{{x^2}+{2^2}}$=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，从而能求出动圆圆心的轨迹Q的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-m）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得${k_1}{y^2}-4y-4{k_1}m=0$，由已知条件推导出M、N的坐标，由此能证明直线MN恒过定点（m，2）．

解答 解：（1）设动圆圆心为O₁（x，y），动圆与y轴交于R，S两点．
由题意，得|O₁P|=|O₁S|．
当O₁不在y轴上时，过O₁作O₁H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点．
∴|O₁S|=$\sqrt{{x^2}+{2^2}}$．
又|O₁P|=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，
∴$\sqrt{{x^2}+{2^2}}$=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，化简得y²=4x（x≠0）．
又当O₁在y轴上时，O₁与O重合，点O₁的坐标为（0，0）也满足方程y²=4x．
∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y²=4x．
（2）证明：由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-m）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得${k_1}{y^2}-4y-4{k_1}m=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k_1}，\;{y_1}{y_2}=-4m$．
因为AB中点$M（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，所以$M（\frac{2}{k_1^2}+m，\frac{2}{k_1}）$．
同理，点$N（\frac{2}{k_2^2}+m，\frac{2}{k_2}）$．
∴${k_{MN}}=\frac{{{y_M}-{y_N}}}{{{x_M}-{x_N}}}=\frac{{{k_1}{k_2}}}{{{k_1}+{k_2}}}={k_1}{k_2}$
∴直线MN：$y-\frac{2}{k_1}={k_1}{k_2}[x-（\frac{2}{k_1^2}+m）]$，即y=k₁k₂（x-m）+2
∴直线MN恒过定点（m，2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．