题目内容

9．已知椭圆：C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1，点M（0，$\frac{1}{2}$）．
（1）设P是椭圆C上任意的一点，Q是点P关于坐标原点的对称点，记λ=$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$，求λ的取值范围；
（2）已知点D（-1，-$\frac{1}{2}$），E（1，-$\frac{1}{2}$），P是椭圆C上在第一象限内的点，记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得的线段长，试将s表示成直线l的斜率k的函数．

分析 （1）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），$\overrightarrow{MP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MQ}$=$（-{x}_{0}，-{y}_{0}-\frac{1}{2}）$．利用数量积运算性质及其${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$，又${x}_{0}^{2}$∈[0，9]，即可得出．
（2）由P是椭圆C上在第一象限内的点，则l的斜率k∈（0，+∞），且l：y=kx．当k∈$（0，\frac{1}{2}]$时，△DFM截直线l所得的线段的两个端点分别是直线l：y=kx与直线DM，EM的交点为A，B，由已知DM：y=x+$\frac{1}{2}$，EM：y=-x+$\frac{1}{2}$，联立方程组可得直线的交点，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），$\overrightarrow{MP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MQ}$=$（-{x}_{0}，-{y}_{0}-\frac{1}{2}）$．
∴λ=$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$-{x}_{0}^{2}$-${y}_{0}^{2}$+$\frac{1}{4}$，又${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$，
∴$λ=-\frac{8{x}_{0}^{2}}{9}$-$\frac{3}{4}$，又${x}_{0}^{2}$∈[0，9]，∴λ∈$[-\frac{35}{4}，-\frac{3}{4}]$．
（2）∵P是椭圆C上在第一象限内的点，则l的斜率k∈（0，+∞），且l：y=kx．
当k∈$（0，\frac{1}{2}]$时，△DFM截直线l所得的线段的两个端点分别是直线l：y=kx与直线DM，EM的交点为A，B，由已知DM：y=x+$\frac{1}{2}$，EM：y=-x+$\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{1}{2（k-1）}，\frac{k}{2（k-1）}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{1}{2（k+1）}，\frac{k}{2（k+1）}）$，
于是s=|AB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|xA-xB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{1}{1-{k}^{2}}$；
当k∈$（\frac{1}{2}，+∞）$时，△DEM截直线l所得的线段的两个端点分别是直线l：y=kx与直线DE，EM的交点G，B，由已知DE：y=-$\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得G$（-\frac{1}{2k}，-\frac{1}{2}）$，
于是s=s（k）=|GB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$$•\frac{2k+1}{2k（k+1）}$．
综上所述，s=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{1}{1-{k}^{2}}，k∈（0，\frac{1}{2}]}\\{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{2k+1}{2k（k+1）}，k∈（\frac{1}{2}，+∞）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程组与直线的交点、两点之间的距离公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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