Question

已知命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解．若命题p是假命题且命题q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,函数恒成立问题

专题：简易逻辑

分析：命题p：|x1-x2|=

m2+8

≤3，所以可以得到a²-5a-3≥3，解该不等式即得a≤-1，或a≥6；
命题q：a²x²+ax-2=（ax-1）（ax+2）=0，所以x=

1

a

，或-

2

a

，所以有|

1

a

|≤1，或|-

2

a

|≤1，这样即可求出a的取值范围：a≤-1，或a≥1；
根据命题p是假命题且命题q是真命题可得

-1＜a＜6 a≤-1，或a≥1

，解该不等式即可得到a的取值范围．

解答： 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两实根；
∴

x1+x2=m x1x2=-2

；
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；
当m∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_max=3；
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立可得：
a²-5a-3≥3，解得a≤-1，或a≥6，∴命题p为真时，a满足a≤-1，或a≥6；
对于方程a²x²+ax-2=0显然a≠0，并解该方程得x=-

2

a

，或

1

a

；
∵该方程在[-1，1]上有解，则：|-

2

a

|≤1，或|

1

a

|≤1，∴|a|≤1，即a≤-1，或a≥1；
∵命题p是假命题，且命题q是真命题；
∴

-1＜a＜6 a≤-1，或a≥1

，解得1≤a＜6；
∴实数a的取值范围是[1，6）．

点评：考查韦达定理，二次函数的最值，解一元二次不等式，及真命题，假命题的概念．