Question

平行四边形ABCD中，AB=1，AD=

2

，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC．

（Ⅰ）求证：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件利用余弦定理求出BD=1，从而得到AB⊥BD，由此能够证明AB⊥DC．
（Ⅱ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大小．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos45°=1，
∵AB=1，AD=

2

，且∠BAD=45°
∴BD²=1+2-2

2

×

2

2

=1，即BD=1，
∴AB⊥BD，
∴面ABD∩面BDC，∴AB⊥面BDC，
∴AB⊥DC．
（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，
DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1），
设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

BA

=(0，0，1)，

BC

=(-1，1，0)，
∴

n • BA =z=0 n • BC =-x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，1，0)，
设平面DAC的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
∵

DA

=(1，0，1)，

DC

=(0，1，0)，
∴

m • DA =x1+z1=0 m • DC =y1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，0，-1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴二面角B-AC-D的大小为60°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．