Question

已知函数f（x）=ax-lnx-1，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
   （i）求函数g（x）的单调区间及实数m的取值范围；
   （ii）求证：g′(

x1+x2

2

)＞0．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，即可求实数a的值；
（Ⅱ）（i）求导函数，分类讨论，利用函数g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），可得求函数g（x）的单调区间及实数m的取值范围；
（ii）由函数g（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），可得

g(x1)=(1-m)(x1-1)-lnx1=0 g(x2)=(1-m)(x2-1)-lnx2=0.

，两式相减，再用分析法，即可证明．

解答： （Ⅰ）解：由f′(x)=a-

1

x

，且f'（1）=0，…（2分）
解得a=1．…（3分）
（Ⅱ）（i）解：g（x）=（1-m）（x-1）-lnx，x∈（0，+∞）．
令g′(x)=1-m-

1

x

=

(1-m)x-1

x

，…（4分）
当1-m≤0即m≥1时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，此时只存在一个零点，不合题意；…（5分）
当m＜1时，令g'（x）=0，解得x=

1

1-m

．
当x变化时，g（x）和g'（x）变化情况如下表：
…（6分）
由题意可知，g(x)极小=g(

1

1-m

)=m+ln(1-m)．
设h（m）=m+ln（1-m），
当m=0时，h（0）=0即g（x）_极小=0，此时g（x）恰有一个零点，不合题意；…（7分）
当m≠0且m＜1时，h′(m)=1-

1

1-m

=

-m

1-m

，…（8分）
当m＜0时，h'（x）＞0，当0＜m＜1时，h'（x）＜0
所以h（m）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以h（m）＜h（0）=0，此时g（x）恰有两个零点．
综上，m的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．…（9分）
（ii）证明：因为函数g（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
所以

g(x1)=(1-m)(x1-1)-lnx1=0 g(x2)=(1-m)(x2-1)-lnx2=0.

，
两式相减得(1-m)(x2-x1)-ln

x2

x1

=0，所以1-m=

1

x2-x1

ln

x2

x1

．…（10分）
要证g′(

x1+x2

2

)＞0，
只要证1-m-

2

x1+x2

＞0，只要证

1

x2-x1

ln

x2

x1

-

2

x1+x2

＞0，
只要证ln

x2

x1

-

2(x2-x1)

x1+x2

＞0，…（11分）
只要证ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0．…（12分）ks5u
设φ(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，则φ′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，…（13分）
所以φ（t）＞φ（1）=0，
所以g′(

x1+x2

2

)＞0．…（14分）

点评：本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想．