题目内容

在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=
3
，P为平行四边形内一点，且AP=
3
2
，若
AP
=λ
AB
+μ
AD
（λ，μ∈R），则λ+
3
μ的最大值为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵
AP
=λ
AB
+μ
AD
，
∴|
AP
|2=(λ
AB
+μ
AD
)2，
即(
3
2
)2=λ2|
AB
|2+μ2|
AD
|2+2λμ
AB
•
AD
，
又AB=1，AD=
3
，∠BAD=60°，
∴
AB
•
AD
=|
AB
||
AD
|cos600=
3
2
，
∴
3
4
=λ2+3μ2+
3
λμ≥2
3
λμ+
3
λμ=3
3
λμ，
∴(λ+
3
μ)2=
3
4
+
3
λμ≤
3
4
+
1
4
=1，
∴λ+
3
μ的最大值为1，当且仅当λ=
1
2
，μ=
3
6
取等号．
故答案为：1．
点评：本题考查了数量积定义及其运算性质、不等式的性质、平行四边形的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
直线l：y=
3
x经过曲线C：y=
3
sinωx（ω＞0）在区间[0，+∞）上的第一个最高点，则曲线C的最小正周期是（　　）
A、4πB、2πC、4D、2
在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且
3
a=2csinA．
（Ⅰ）确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=
7
，且△ABC的面积为
3
3
2
，求a+b的值．
若三球的表面积之比为1：2：3，则其体积之比为（　　）
A、1：2：3
B、1：
2
：
3
C、1：2
2
：3
3
D、1：4：7
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
 
．
PM2.5即细颗粒物是指直径在2.5微米以下的颗粒物，能长时间的悬浮在空气中．PM2.5在空气中的含量越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度值以每立方米的微克值来表示，我国规定空气中PM2.5的浓度小于或等于75微克/立方米为达标．某市连续监测了一天中0～12时内PM2.5含量的变化情况，其浓度W（t）（微克/立方米）随时刻t的变化可近似表示如下：W（t）=
5
2
(t-4)2+65                                  0≤t＜6
k(t-6)2-(t-6)+ln[(t-6)+1]+75      6≤t≤12

（1）设k=1，求这一天中0～12时内哪些时间段是达标的？
（2）已知k＞0，如果当t∈（6，12]时，PM2.5的浓度始终大于75微克/立方米，求k的取值范围．
当实数x，y满足约束条件
x≥1
y≥1
x+y≤7
时，z=x-y的最大值为m，则对于正数a，b，若
1
a
+
1
b
=m，则a+b的最小值是
 
．
若x，y满足约束条件
0≤x≤2
0≤y≤2
x≤3y+2
，则z=y-2x的最大值为（　　）
A、-2B、-4C、2D、4
已知圆C：x2+y2-（6-2m）x-4my+5m2-6m=0，定直线l经过点A（1，0），若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值A，求得此定值A等于
 
．

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