题目内容

如图，某风景区准备美化以快直径为AB的半圆形空地，O为圆心，C为圆周上一点，CD⊥AB于D，已知AB为一假山壁，若以山壁为一边，△ACD内为一喷泉，△ACD外栽种花草，若AB=200米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）试用θ表示y；
（2）现一架飞机在风景区上空向半圆区域空投一怕水小物品，假设把物品看为质点，且物品落入半圆各点的机会相等，求当y取最大值时，物品落入花草地的概率．
考点：几何概型,函数解析式的求解及常用方法
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）连接CB，则AC⊥CB，求出AC=ABcosθ=100cosθ．然后求出函数的解析式．
（2）求出函数的导数，通过导数为0，求出θ=30°．通过当0°＜θ＜30°时，当30°＜θ＜90°时，判断函数的单调性，说明θ=30°时函数取得最大值，求解即可．
解答： 解：（1）连接CB，则AC⊥CB，
又AB=200，∠CAB=θ，∴AC=ABcosθ=100cosθ．
又CD⊥AB，∴CD=ACsinθ=100sinθcosθ．
∴y=200（1+sinθ）cosθ，（0＜θ＜
π
2
）．
（2）y′=[200（1+sinθ）cosθ]′=[200cosθ+50sin2θ]′=200（-sinθ+cos2θ）．
由y′=0得sinθ=
1
2
或sinθ=-1（舍去）．
∴θ=30°．
当0°＜θ＜30°时，y′＞0，则y在（0，30°）递增．
当30°＜θ＜90°时，y′＜0，则y在（30°，90°）递减．
∴当θ=30°时函数取得最大值ymax=200（1+sin30°）cos30°=150
3
．
∵AB=200，∴AC=100
3
，CD=50
3
，
∴S△ACD=
1
2
×100
3
×50
3
×
3
2
=3750
3
，
∴当y取最大值时，物品落入花草地的概率1-
3750
3
20000π
=1-
3
3
16π
．
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的导数的应用，函数的最大值的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x3456
y2.5344.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=
b
x+
a
；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
若函数f（x）=log
1
2
（x2-ax+1）
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围；
（3）若函数在（-∞，1-
3
）上是增函数，求a的取值范围．
在三棱锥S-ABC中，三侧面两两互相垂直，侧面△SAB，△SAC的面积分别为1，
3
2
，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A、14πB、12π
C、10πD、8π
f（x）=a-x2+2x+3（0＜a＜1）的单调增区间是
 
．
下列各式成立的是（　　）
A、
3m2+n2
=(m+n)
2
3
B、（
b
a
）2=a
1
2
b
1
2
C、
6(-3)2
=(-3)
1
3
D、
34
=2
1
3
已知-1≤x+y≤4，且2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是
 
（用区间表示）．
若（x-
2
x
）n的展开式中所有二项式系数之和为256，则展开式中含x2项的系数为（　　）
A、-448B、-16
C、112D、1120
已知集合A={x|x2-2x+a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是
 
．

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