Question

8．在如图所示的△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，已知a=c，且满足$cosC+（{cosA-\sqrt{3}sinA}）cosB=0$，若点O是△ABC外一点，且OA=2OB=4，∠AOB=θ，则四边形OACB面积的最大值为（　　）

• A． $4+4\sqrt{3}$
• B． $5+4\sqrt{3}$
• C． 12
• D． $8+5\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理求出c，将$cosC+（{cosA-\sqrt{3}sinA}）cosB=0$进行化简解出B，代入面积公式得到关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．

解答 解：在△AOB中，S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ=4sinθ，
由余弦定理得c²=OA²+OB²-2OA•OB•cosθ=20-16cosθ，
∵a=c，∴A=C，
∵$cosC+（{cosA-\sqrt{3}sinA}）cosB=0$，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
化简得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，解得B=60°．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$c²sinB=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosθ，
∴S_{四边形OACB}=S_△AOB+S_△ABC=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$．
∴当sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1时，四边形OACB面积取得最大值8+5$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换及性质，求出B的大小得出面积关于θ的关系式是关键．