Question

3．在极坐标系中已知圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$与直线 L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0
（1）将直线L和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）求圆C上的点到直线L的最短距离．

Answer 1

分析 （1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的直角坐标方程；由余弦加法定理和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆心C到直线的距离，由此能求出圆C上的点到直线L的最短距离．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵直线 L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到直线L的直角坐标方程为：3x+4y+6=0，
∵圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$，
∴${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4sinθ+6=0，
∴由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得圆C的直角坐标方程为：x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（2）∵圆C：（x-2）²+（y-2）²=2的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（2，2）到直线3x+4y+6=0的距离d=$\frac{|6+8+6|}{\sqrt{9+16}}$=4，
∴圆C上的点到直线L的最短距离为4$-\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线和C的极坐标方程化为直角坐标方程的求法，考查圆上的点到直线的最短距离的求法，解题时要注意点到直线距离公式和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理运用．