Question

14．函数f（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1），x∈（-1，0）时有f（x）＞0，
证明：对任意x₁＞1，x₂＞1有$\frac{f（{x}_{1}-1）+f（{x}_{2}-1）}{2}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知分析出函数f（x）=log_a（x-1）在（1，+∞）上为凹函数，可得结论．

解答 证明：∵函数f（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1），x∈（-1，0）时有f（x）＞0，
∴函数f（x）=log_ax，x∈（0，1）时有f（x）＞0，
∴a∈（0，1）
∴函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上为凹函数；
∴函数f（x）=log_a（x-1）在（1，+∞）上为凹函数；
∴对任意x₁＞1，x₂＞1有$\frac{f（{x}_{1}-1）+f（{x}_{2}-1）}{2}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2}$）．

点评 本题考查的知识点是函数的凸凹性，正确理解函数的凸凹性是解答的关键．