Question

13．数列{a_n}前n项和S_n，满足$\frac{n+1}{2}$（a_n-a₁）=S_n-S₁，a₁=1．（n∈N^*）
（1）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：$\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，即b_n-b_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，（n≥2），利用“累加求和”即可得出b_n．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，可得a_n=2n-1．c_n=na_n2n²-n．再利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$及其等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{n+1}{2}$（a_n-a₁）=S_n-S₁，a₁=1（n∈N^*），∴当n≥2时，$\frac{n}{2}（{a}_{n-1}-{a}_{1}）$=S_n-1-a₁，
相减可得：$\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴b_n-b_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，（n≥2），b₁=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）$+1
=$2-\frac{1}{n}$，当n=1时也成立，
∴b_n=2-$\frac{1}{n}$．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，
∴a_n=2n-1．
∴c_n=na_n=n（2n-1）=2n²-n．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）
=$2×\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{4{n}^{3}+3{n}^{2}-n}{6}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．