Question

13．如图，等腰梯形的下底边AB=2，上底边CD=1，两腰AD=BC=1，动点P从点B开始沿着边BC，CD与DA运动，记动点P的轨迹长度为x，将点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据等腰梯形的知识得到∠ABC=∠DAC=60°，等腰梯形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据余弦定理即可表示AP，继而得到，f（x）=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+3}$，0≤x≤1，再根据题意分别求出点P在几个特殊点的位置时，f（x）的值，比较其大小，得到函数的变化趋势，即可判断．

解答 解：∵等腰梯形的下底边AB=2，上底边CD=1，两腰AD=BC=1，
∴∠ABC=∠DAC=60°，等腰梯形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
①当P在BC上运动时，由余弦定理可得
AP²=AB²+BP²-2AB•BP•cos60°=4+x²-2•x•2•$\frac{1}{2}$=x²+4-2x=（x-1）²+3
∴f（x）=x+$\sqrt{（x-1）^{2}+3}$
当x=0时，f（0）=2，
当x=1时，f（1）=1+$\sqrt{3}$，
②当点P在CD上运动时，假如运动到CD的中点时，此时AP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，BP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，则f（1.5）=$\sqrt{7}$，
③当点P在运动点D时，此时f（2）=f（1）=1+$\sqrt{3}$，
④当点P在运动点A时，此时f（3）=f（0）=2，
∵1+$\sqrt{3}$＞$\sqrt{7}$＞2，
∴f（1）=f（2）＞f（1.5）＞f（0）=f（3），
∴函数f（x）先增大，再减少，再增大，再减少，且变化不是直线型，
故选：B．

点评 本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤1时的解析式是解决本题的关键．