Question

4．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点，F₁，F₂为左右焦点，若∠F₁PF₂=60°．
（1）求△F₁PF₂的面积；
（2）求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的方程求得焦点坐标，根据余弦定理求得丨PF₁丨•丨PF₂丨，则由三角形面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨sin60°，即可求得△F₁PF₂的面积；
（2）由焦点三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$×2c×丨y丨=4丨y丨，由（1）可知4丨y丨=3$\sqrt{3}$，即可求得y的值，代入椭圆方程，即可求得x的值，求得P点的坐标．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1可知焦点在x轴上，a=5，b=3，c=$\sqrt{25-9}$=4，
焦点坐标为：F₁（-，4，0），F₂（4，0），
设丨PF₁丨=m，丨PF₂丨=n，则m+n=2a=10，
由余弦定理可知：m²+n²-2mncos60°=（2c）²，
∴（m+n）²-2mn-2mncos60°=2c²，即100-2mn-mn=64，
则mn=12，
△F₁PF₂的面积S，S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴△F₁PF₂的面积3$\sqrt{3}$；
（2）设P（x，y），由△F₁PF₂的面积S，S=$\frac{1}{2}$×2c×丨y丨=4丨y丨，
∴4丨y丨=3$\sqrt{3}$，
则丨y丨=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$，y=±$\frac{4\sqrt{3}}{4}$，将y=±$\frac{4\sqrt{3}}{4}$带入椭圆方程解得x=±$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，
∴这样的P点有四个，P点的坐标（$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，$\frac{4\sqrt{3}}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，$\frac{4\sqrt{3}}{4}$），
（$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{4}$），（-$\frac{5\sqrt{13}}{4}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查余弦定理及焦点三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．